Le nombre Pi a fasciné et intrigué les savants depuis l’Antiquité. Tout le monde ou presque a déjà entendu parler de l’une des constantes les plus importantes des mathématiques qui correspond à la valeur du rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre en géométrie euclidienne. Et pourtant, comme le montrent ces faits étonnants, il n’a pas encore révélé tous ses secrets.  

Le nombre Pi a sa fête

Le 14 mars, de nombreuses universités anglo-saxonnes fêtent le Pi Day, dérive de l’approximation habituelle à trois chiffres 3,14. Elle est généralement célébrée à 1h59 de l’après-midi, à cause de l’approximation de six chiffres (3,14159). En 2015, la journée de Pi a été exceptionnelle, l’année ayant été prise en compte. Elle a été fêtée à 9h26m53s : 3.14.15 9:26:53.

Ce jour est célébré de différentes façons. Des groupes de gens, typiquement des clubs pi, racontent le rôle qu’a joué ce nombre dans leur vie et imaginent un monde sans Pi. Pendant ces festivités, on mange toutes sortes de tartes (pie, une tarte en anglais), des pizzas, des pistaches, on boit des piña coladas et on chante Oh Hap-pi Day, l’hymne officieux de l’événement.

Il n’a pas toujours été appelé Pi

L’usage de la lettre grecque π, première lettre de « περίμετρος » — périmètre en grec —, n’est apparu qu’au XVIII^e siècle. Auparavant, sa valeur était désignée par diverses périphrases comme la « constante du cercle » ou son équivalent dans diverses langues.

C’est un nombre irrationnel et transcendant

Même si dans le passé, de nombreux livres de mathématiques répertoriaient Pi comme 22/7, ce nombre est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers et que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. Cela signifie aussi que les chiffres de Pi ne sont pas prévisibles. Pi est aussi un nombre transcendant, n’étant solution d’aucune équation à coefficients rationnels. Il existe cependant les formules qui le lient à d’autres constantes mathématiques, et notamment au nombre d’or.  

Il est aussi imprévisible qu’interminable

Les 16 premiers chiffres de l’écriture décimale de Pi sont 3,141 592 653 589 793. La séquence des décimales de Pi a toujours fasciné les mathématiciens professionnels et amateurs. La meilleure valeur décimale approchée de Pi connue actuellement comporte environ 1241 milliards de chiffres. Mais aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire la séquence de ces chiffres. Il existe des logiciels de calcul des décimales de Pi qui peuvent générer à l’aide de différentes méthodes, le nombre de décimales que vous souhaitez. Une fois le calcul terminé, les décimales sont automatiquement rangées dans un fichier à part.

Ses approximations permettent une précision spectaculaire

Les décimales de Pi ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans, d’abord à Babylone et ensuite en Egypte. Une des plus anciennes approximations de Pi se trouve sur le célèbre papyrus Rhind copié par le scribe Ahmes.

On peut trouver une valeur approchée de Pi de façon empirique, en traçant un cercle, puis en mesurant son diamètre et sa circonférence, puis en divisant la circonférence par le diamètre. Une autre approche géométrique, attribuée à Archimède, consiste à calculer le périmètre P_n d’un polygone régulier à n côtés et à mesurer le diamètre d de son cercle circonscrit, ou celui de son cercle inscrit. Plus le nombre de côtés du polygone est grand, meilleure est la précision obtenue pour la valeur de Pi. Archimède a utilisé cette méthode en comparant les résultats obtenus par la formule en utilisant deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés, pour lesquels le cercle est pour l’un circonscrit et pour l’autre inscrit. Mais aujourd’hui on peut obtenir des valeurs approchées de Pi en mettant en œuvre des méthodes plus modernes. La plupart des formules utilisées pour calculer Pi sont basées sur la trigonométrie et le calcul intégral.

Sa mémorisation est devenue une discipline à part entière

On peut trouver sur Internet le club des personnes connaissant par cœur plus de 1000 décimales de Pi : The 1000-club. Le 14 mars 2004, à Oxford, le jeune autiste Asperger Daniel Tammet récite (en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes) 22 514 décimales. En 2006, Akira Haraguchi, un ingénieur japonais retraité, a réussi à réciter 100 000 décimales de Pi en 16 heures. Ceci, cependant, n’a pas encore été vérifié par le Livre Guinness des records. Le record de mémorisation de Pi reconnu officiellement est de 67 890 chiffres, détenu par Lu Chao, un jeune diplômé chinois. Il lui a fallu 24 heures et 4 minutes pour réciter les 67 890 premières décimales de Pi sans erreur.

Il existe des astuces mnémotechniques pour le retenir

Pour ceux qui veulent tenter leur chance, un poème existe pour mémoriser les 127 premières décimales, qui correspondent au nombre de lettres de chaque mot :

Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages ! Immortel Archimède, artiste ingénieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur ? Pour moi, ton problème eut de pareils avantages. Jadis, mystérieux, un problème bloquait Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs. O quadrature ! Vieux tourment du philosophe Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez Défié Pythagore et ses imitateurs. Comment intégrer l’espace plan circulaire ? Former un triangle auquel il équivaudra ? Nouvelle invention : Archimède inscrira Dedans un hexagone ; appréciera son aire Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra : Dédoublera chaque élément antérieur ; Toujours de l’orbe calculée approchera ; Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle Professeur, enseignez son problème avec zèle. 

Ses applications ne se limitent pas à la géométrie

En analyse, le Pi est la limite de certaines sommes infinies, produits infinis, fractions continues, racines emboitées dont certaines facilitent son calcul. En algèbre, des recherches sur les nombres transcendants et irrationnels ont permis par exemple d’apporter une réponse au célèbre problème de la quadrature du cercle. En effet, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont la superficie serait égale à celle d’un cercle donné. Enfin, en probabilité et en statistiques le Pi intervient parfois dans quelques lois continues ou dans des problèmes amusants (aiguille de Buffon).

Il a été utilisé pour la construction des pyramides

Nombreux sont les sites ou ouvrages qui signalent la présence du nombre Pi dans les pyramides et, plus précisément, que Pi est le rapport entre le périmètre de la base et le double de la hauteur des pyramides. Il est vrai que la pyramide de Khéops possède une pente de 14/11, et que par conséquent, le rapport entre la base et la hauteur est de 22/14. Le rapport 22/7 étant une bonne approximation de Pi, le rapport entre le périmètre et le double de la hauteur de la pyramide de Khéops est bien voisin de Pi.

Il fascine aussi les artistes

Il est en tout cas certain que Pi est présent dans la culture artistique moderne. Par exemple, dans Contact, un roman de Carl Sagan, Pi joue un rôle clé dans le scénario et il est suggéré qu’il y ait un message enfoui profondément dans les décimales de Pi, placé par celui qui a créé l’univers.

Sur le plan cinématographique, Pi a servi de titre au premier long-métrage de Darren Aronofsky, à qui l’on doit notamment Requiem for a Dream. Pi est un thriller mathématique sur la découverte de la séquence parfaite, révélant ainsi la formule exacte des marchés boursiers de Wall Street ou encore le véritable nom de Dieu. Pi est aussi une star des séries télé : The Big Bang Theory ou Person of Interest font plusieurs fois des clins d’œil à ce nombre. Enfin, dans le registre musical, l’auteure-compositrice-interprète Kate Bush a sorti en 2005 son album Aerial, qui contenait le morceau « π », dont les paroles sont principalement composées des décimales de Pi. Bien sûr, il s’agit des représentations en musique et en images les plus célèbres parmi tant d’autres.

De nombreux sites lui sont consacrés

Des milliers de passionnés recensent sur le Net les avancées scientifiques, les formules, les anecdotes, les sondages, les liens et les ressources pédagogiques liés au nombre Pi. Parmi ces sites, on peut citer par exemple I am in Pi (en anglais) qui permet de trouver sa date de naissance cachée dans les décimales de Pi.

Certaines questions demeurent encore sans réponse

Ainsi, les chercheurs ne savent pas encore si Pi est un nombre univers, ce qui signifie qu’on pourrait trouver dans son développement décimal n’importe quelle suite finie de chiffres.

Il est surprenant de voir qu’un nombre, aussi irrationnel soit-il, puisse devenir une véritable légende et même un objet de culte. Cela montre que les mathématiques ne sont pas toujours cette science austère qui laisse peu de place à l’imagination et que le nombre de mystères qui entourent encore notre univers est peut-être aussi infini que le nombre Pi.

Paru dans Daily Geek Show